Dreisatz-Rechner

So funktioniert der Dreisatz-Rechner

Der Rechner löst drei Varianten der Verhältnisrechnung. Du brauchst nur die bekannten Werte einzutragen – die Formel wendet er automatisch an:

1. „Dreisatz-Art" wählen: Direkt (proportional – mehr wird mehr), Indirekt (antiproportional – mehr wird weniger) oder Zusammengesetzt (drei Größen auf einmal, auch Fünfsatz genannt).
2. „Wert A (bekannt)" eintragen: die erste bekannte Größe, zum Beispiel 3 für 3 kg Äpfel.
3. „Wert B (bekannt)" eintragen: beim einfachen Dreisatz der zu Wert A gehörende Wert, zum Beispiel 12 für 12 Euro. Beim zusammengesetzten Dreisatz ist das die zweite bekannte Größe, zum Beispiel 24 Stunden.
4. „Wert A (neu)" eintragen: die Größe, für die du den Wert suchst, zum Beispiel 5 für 5 kg Äpfel.
5. Nur zusammengesetzt: „Wert B (neu)" und „Bekanntes Ergebnis" ergänzen sowie unter „Verhältnis von A zum Ergebnis" und „Verhältnis von B zum Ergebnis" jeweils direkt oder indirekt wählen.

Durchgerechnetes Beispiel: Maria, 41, Angestellte aus Köln, will einen Apfelkuchen für die Familienfeier backen. 3 kg Äpfel kosten auf dem Wochenmarkt 12 Euro – wie viel kosten 5 kg?

• Dreisatz-Art: Direkt (proportional)
• Wert A (bekannt): 3
• Wert B (bekannt): 12
• Wert A (neu): 5

Der Rechner zeigt den Rechenweg 12 ÷ 3 × 5 = 20 und das Ergebnis 20. Der Zwischenschritt verrät: 12 ÷ 3 = 4 pro 1 × A – ein Kilo Äpfel kostet also 4 Euro. Maria zahlt für 5 kg genau 20 Euro. Dasselbe Ergebnis erhältst du mit der klassischen Tabellenmethode (erst auf 1 herunter-, dann auf 5 hochrechnen), wie sie etwa sofatutor.at in seiner Dreisatz-Anleitung beschreibt: 3 Liter Milch kosten 2,40 Euro, 5 Liter kosten 4,00 Euro.

Wann ist der Dreisatz direkt, wann indirekt?

Die Frage entscheidet alles, denn sie bestimmt die Formel. Direkt proportional heißt: Verdoppelt sich die eine Größe, verdoppelt sich auch die andere. Typische Fälle sind Menge und Preis (5 kg kosten mehr als 3 kg), Strecke und Zeit bei gleicher Geschwindigkeit (in 7 Stunden kommst du weiter als in 3 Stunden – das Wikipedia-Beispiel rechnet 3 h → 240 km, also 7 h → 560 km) oder Zutaten und Portionen beim Kochen.

Indirekt proportional (antiproportional) heißt: Verdoppelt sich die eine Größe, halbiert sich die andere. Das klassische Beispiel: 4 Maler brauchen 6 Tage für eine Fassade – 8 Maler brauchen nur 3 Tage, denn 4 × 6 ÷ 8 = 3. Weitere Fälle: Arbeiter und Arbeitszeit, Geschwindigkeit und Fahrtdauer, Pumpen und Entleerungszeit eines Beckens.

• Faustregel: Frag dich „Wird das Ergebnis größer, wenn meine Eingabe größer wird?" – Ja heißt direkt, Nein heißt indirekt.
• Häufiger Fehler: Bei Rabatten oder Mengenstaffeln ist der Zusammenhang oft nicht mehr proportional – dann liefert der Dreisatz falsche Werte. Mehr dazu im Abschnitt zu den Grenzen weiter unten.
• Zusammenhang mit der Prozentrechnung: Prozentrechnung ist im Kern ein Dreisatz – der Grundwert entspricht 100 Prozent. Unser Prozentrechner baut genau auf dieser Logik auf.

Wie funktioniert der zusammengesetzte Dreisatz (Fünfsatz)?

Beim zusammengesetzten Dreisatz wirken drei Größen gleichzeitig auf das Ergebnis. Er heißt auch Fünfsatz, weil aus fünf bekannten Größen die sechste berechnet wird. Die Besonderheit dieses Rechners: Du legst für jede der beiden Hilfsgrößen einzeln fest, ob sie sich direkt oder indirekt zum Ergebnis verhält – genau das unterscheidet ihn von einfachen Tools.

Durchgerechnetes Beispiel (nach dem verallgemeinerten Dreisatz aus der Wikipedia): 2 Kühe fressen in 24 Stunden 48 kg Gras. Wie viel Gras fressen 5 Kühe in 6 Stunden?

• Wert A (bekannt): 2 (Kühe), Wert A (neu): 5 – Verhältnis: direkt
• Wert B (bekannt): 24 (Stunden), Wert B (neu): 6 – Verhältnis: direkt
• Bekanntes Ergebnis: 48

Rechnung: 48 × (5 ÷ 2) × (6 ÷ 24) = 48 × 2,5 × 0,25 = 30. Die 5 Kühe fressen in 6 Stunden 30 kg Gras – vorausgesetzt, sie fressen gleichmäßig, wie die Wikipedia in ihrem Beispiel 3 ausdrücklich annimmt.

Gemischtes Beispiel mit indirekter Größe: 4 Maler streichen in 8 Tagen 6 Schulen. Wie lange brauchen 8 Maler für 18 Schulen? Hier ist die Malerzahl indirekt zur Zeit (mehr Maler → weniger Tage), die Schulenzahl direkt (mehr Schulen → mehr Tage): 8 × (4 ÷ 8) × (18 ÷ 6) = 8 × 0,5 × 3 = 12 Tage.

Woher weiß ich, ob der Dreisatz hier überhaupt gilt?

Der Dreisatz funktioniert nur bei echten proportionalen oder antiproportionalen Zusammenhängen – also wenn das Verhältnis zweier Größen konstant bleibt. Das ist die wichtigste Information auf dieser Seite, denn sie wird in den meisten Online-Tools verschwiegen.

• Gilt: Einheitspreise ohne Staffel, konstante Geschwindigkeiten, gleichbleibende Arbeitsleistung, Rezeptzutaten, Währungsumrechnung zum Tageskurs.
• Gilt nicht: Mengenrabatte (der Kilopreis sinkt mit der Menge), beschleunigte Bewegungen, der Zinseszins (dort wächst das Kapital exponentiell, nicht linear), Sättigungseffekte wie Dünger auf dem Feld.
• Das Kartoffelparadoxon zeigt die Falle besonders schön: 100 kg Kartoffeln mit 99 % Wassergehalt trocknen auf 98 % Wassergehalt – wie schwer sind sie dann? Die Antwort ist nicht 99 kg, sondern 50 kg, weil sich die Trockenmasse von 1 kg auf die Hälfte des Wassers bezieht. Ein simpler Dreisatz auf die Prozente führt hier in die Irre.
• Praxistipp: Wenn du unsicher bist, rechne den Zwischenschritt „pro 1" von Hand nach – genau den zeigt dir der Rechner unter „Zwischenschritt" an.

Übrigens: Auch Brüche, die Quadratwurzel und der Logarithmus lassen sich auf Verhältnisrechnungen zurückführen – wer den Dreisatz sicher beherrscht, hat die halbe Schulmathematik im Griff.

Formel

Direkt:          x = A_neu × B_bekannt ÷ A_bekannt
Indirekt:        x = A_bekannt × B_bekannt ÷ A_neu
Zusammengesetzt: x = Ergebnis_bekannt × (A_neu ÷ A_bekannt) × (B_neu ÷ B_bekannt)

• x ist der gesuchte Wert, A_bekannt und B_bekannt sind die zusammengehörenden Ausgangswerte, A_neu die Größe, für die gerechnet wird.
• Beim zusammengesetzten Dreisatz steht in jeder Klammer das Verhältnis der neuen zur bekannten Größe. Ist eine Größe indirekt zum Ergebnis, wird der Bruch umgedreht: (A_bekannt ÷ A_neu) statt (A_neu ÷ A_bekannt).
• Die Formeln entsprechen der klassischen Schlussrechnung: erst auf 1 herunterrechnen, dann auf den Zielwert hochrechnen (vgl. rechneronline.de: y = b/a × x, sowie die Dreisatz-Tabelle der Wikipedia).

So ist dieser Rechner entstanden

Dieser Rechner ist entstanden, weil der Dreisatz die am häufigsten gebrauchte Rechenmethode im Alltag ist – vom Einkaufen über Rezepte bis zu Arbeitszeiten. Die meisten Online-Tools decken aber nur den einfachen Dreisatz ab, deshalb haben wir den zusammengesetzten Dreisatz mit drei Größen und frei wählbarem direktem oder indirektem Verhältnis pro Größe gleich mit eingebaut.